Главная страница

ДИФФЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, со-держащее в искомую функцию, её производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. воз-никла в кон. 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциаль-ным исчислением.

Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ныо-тона и Г. Лейбница; термин “Д. у.” принадлежит Г. Лейб-ницу (1676, опубл. 1684). И. Ньютон при создании исчис-ления фл юксий и флюент ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксия, найти соотношение между флюентами. С совре-менной точки зрения первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференци-альному исчислению, а вторая составляет содержание тео-рии обыкновенных Д. у. Задачу нахождения неопределён-ного интеграла F(х) функции f(x) И. Ньютон рассматри-вал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для И. Ньютона как создателя основ матема-тич. естествознания вполне оправданным: в очень большом:

числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчёт течении этих процессов сводится к решению Д. у. Следующие два простых примера могут служить иллю-страцией к сказанному.

1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура к-рой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение D T (отрипатель-ное в случае T>0) его температуры за малый промежуток времени D t с достаточной точностью выражается формулой

где k — постоянный коэффициент. При математич. обработке этой физич. задачи считают, что выполняется точно соответствующее предел ьное соотношение между дифференциалами

т. е. имеет место Д. у.

где Т| обозначает производную по t. Решить получ енное Д. у., или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид

где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С наз. общим решением уравнения (1).

 

2) Пусть, напр., груз р массы т. подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью натяжения пружины (рис. 1, б ), приводят груз в движение. Если x(t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x"(t). Сила mx"(t), действующая на тело, при небольших растя жениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x(t}. Таким образом, получается Д. у.

Его решение имеет вид

и показывает, что тело будет совершать гармонич. колебания (рис. 1, в).

Теория Д. у. выделилась в самостоятельную, детально разработанную научную дисциплину в 18 в. (труды Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбера и особенно Л. Эйлера).

Д. у. делятся на “обыкновенные”, содержащие производные одной, или нескольких функций одного независимого переменного, и “уравнения с частными производными”, содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. наз. наибольший порядок входящих в него производных. Так,

есть Д.У. с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) наз. соотношение

между независимым переменным х, искомой функцией у и её производной Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относитрльио производной уравнений, предполагая функцию f(x, у) однозначной.

Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами:

тогда оно становится частным случаем уравнений вида

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные а; и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.

Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у=у(х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой

y=-y(z) имеет в каждой лежащей на ней точке М(х, у) угловой коэффициент k=f(x, у). Таким образом, нахождение решений y=y(x) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке нек-рой области на плоскости задано “направление”, требуется найти все кривые, к-рые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f(x, у) неп рерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие черточки с зада нным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для уравнения у/=у2. Рисунок позволяет ср азу представить себе, как должны выглядеть графики решения — т. н. интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее решение данного уравнения есть . На рис 2 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям параметра С=0 и С=1.

График любой однозначной функции у=у(х) пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу, только один раз. Таковы, следовательно, интегральные кривые любого уравнения (Б) с однозначной непрерывной функцией в правой части. Но вые возможности для вида интегральных кривых открываются при переходе к уравнениям (В). При помощи пары непрерывных функций Р(х, у) и Q(x, у) можно задать любое непрерывное поле направлений. Задача интегрирования уравнений (В) совпадает с чисто геометрической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует заметить, что тем точкам (x0, у0), в к-рых обе функции Р (х, у) и Q(x, у) обращаются в нуль, не соответствует к.-л. определённое направление. Такие точки наз. особыми точками уравнения (В).

Пусть, напр., задано уравнение

к-рое можно записать в виде

хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл при х=0 и у=0. Соответствующие поле направлений и семейство интегральных кр ивых, являющихся в этом случае окружностями x2+y2=C, изображены на рис. 3. Начало координат (x=0, у=0) — особая точка данного уравнения. Интегральными кривыми у равнена

изображёнными на рис. 4, являются всевозможные прямолинейные лучи, выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой и этого уравнения

Начальные условия. Геометрич. интерпретация Д. у. 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутреннюю точку М области G с заданным непрерывным полем направлений можно провести одну, вполне определенную интегральную кривую.

В отношении существования интегралыную кривой сформулированная гипотеза оказывается правил ной. Доказательство этого предложения принадлежит Дж.

 

Пеано (1890). В отношении же единственное интегральной кривой, проходящей через заданную точку высказанная выше гипотеза оказывается, вообще говоря ошибочной. Уже для такого простого уравнения,

у к-рого правая часть непрерывна во всей плоскости, интегральные кривые имеют вид, изображённый на рисунке 5. Единственность интегральной кривой, проходя;

через заданную точку, нарушается здесь во всех точках оси Ох.

Единственность, т. е. однозначное определение интегральной кривой условием её прохождения через заданную точку, имеет место для уравнений (Б) с непрерывной правой частью при том дополнител ьном условии, что функция f(х, у) имеет в рассматриваемой области ограни-ченную производную по у.

Это требование является частным случаем следующего, более широкого условия Липшица: существует такая постоянная L, что в рассматриваемой области всегда

Это условие чаще всего приводится в учебниках как достаточное условие единственности.

С аналитич. стороны теоремы существования и единст-венности для уравнения вида (Б) означают следующее:

ми выполнены надлежащие условия [напр., функция f(x, у) непрерывна и имеет ограниченную производную по y], то задание для “начального” значения Х0 независимого переменного х “начального” значения y0=у(х0) функция у(x) выделяет из семейства всех решений у(х) функция определённое решение. Напр., если для рассмотренно го выше уравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени t0=0 температура тела была равна “на-чальному” значению Т0, то из бесконечного семейства ре-шений. (2) выделится одно определённое решение, удовле-творяющее заданным начальным условиям:

Этот пример типичен: в механике и физике Д. у. обычно опрееделяют общие законы течения к.-л. явления; однако чтобы получить из этих законов определённые количест-венные результаты, надо присое динить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физич. системы в нек-рый определённый, выбранный в качестве “начального” момент времени t0.

Если условия единственности выполнены, то решение y(x), удовлетворяющее условию у(х0)=уо, можно записать в виде:

 

где xо,y0 входят как параметры, функция же фи(x; x0, y0) трехi переменных х, х0 и у0 однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно

малом изменении поля (правой части Д. у.) функция фи(х; х0 у0) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного х — имеется непрерывная зависимость решения от правой части Д. у. Если правая часть f(x, у) Д. у. непрерывна и её производная по у ограничена (или удов летворяет условию Липшица), то имеет место также непрерывность фи(х; х0, у0) по x0 и уо. Если в окрестности точки (х0, y0) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (x0,y0), пересекают вертикальную прямую х=х0 и опреде-ляются ординатой у=С своей точки пересечения с этой прямой (рис. 6). Таким образом, все эти решения содер-жатся в семейс тве с одним параметром С:

к-тое является общим решением Д.у. (Б). В окрестности точек, в к-рых нарушаются условия един-ственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен в вопрос о поведении интегральных кривых “в целом”, а не в окрестности точки (х0, у0). Общий интеграл. Особые решения. естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Д. у., для к-рого кривые заданного семейства служили бы интег-ральнами кр ивыми. Общий метод для решения этой задачи исключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости xОу заданным при помощи соотношения

дифференцируют (6) при постоянном С и получают

или в симметричной записи

и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и (8) исключают параметр С. Если данное Д. у. получается таким образом из соотношения (6), то это соотношение наз. общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительн ых решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).

Пусть, напр., задано семейство кривых

Дифференцируя (9) при постоянном С, получают

после же исключения С приходят к Д. у.

равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9) уравнение (10) имеет решение

Решение уравнения (10) самого общего вида таково:

(рис. 7). Оно зависит от двух

параметров С, и С“, но составляется из кусков кривых

однопараметрич. семейства (9) и куска особого решения (11).

Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых

Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.

Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола

огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Д.у. n-го порядка с одной неизвестной функцией у(х) независимого переменного х записывают так:

Если ввести дополнительные неизвестные функции

то уравнение (13) можно заменить системой из п уравнений с п неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n—1 уравнениям (14) присоединить уравнение Напр., если правые части уравнений (а) в окрестности точки (to,x01, х02, . . ., Х0n) голоморфны, то решение соотве тствующей начальной задачи выражается функциями Xi(t), разлагающимися в степенные ряды:

Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го поря дка имеет простой механич. смысл. Напр., система трёх уравнений движения материальной точки

где х, у, z — координаты точки, зависящие от времени t, сво дится к системе шести уравнений:

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих и, v, w скорости.

Наибольшее значение имеют системы, в к-рых число уравнений равно числу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с п неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет вид

Решением системы Д. у. (а) наз. система функций x1(t), x2(t), ... , xn(t), к-рая при подс тановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются системы вида (а), в к-рых правые части не зависят от t. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к изуч ению системы из (n—1)-го уравнения, к-рую целесообразно записывать в симметричной форме

не предрешая вопроса о том, от какого из переменных x1, ... , xn мыслятся зависящими остающиеся n—1 - переменных. Считая х=(x1, ... , xn ) вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного уравнения:

 

что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с теорией одного уравнения 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты о тносительно существования и единственности решения задачи с начальными (to,x01, х02, . . ., Х0n ) условиями: если в окрестности точки (to,x01, х02, . . ., Х0n )

все функции fi непрерывны по совокупности переменных t, x1, х2, . . ., Хn то и имеют ограниченные производные по переменным x1, х2, . . ., Хn, то задание на чальных значений х (t0)=x0i, i=l, 2, . .., n, определяет одно, вполне определённое решение системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решени е систем из п уравнений 1-го порядка с п неизвестными функциями зависит от ге параметров.

Для приведённых выше конкретных примеров Д. у. их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. “решённым”, если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами C1, С2, .. .) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла (“решение выражено в квадратурах”).

Большой общностью обладают способы нахождения решений при помощи разложения их в степенные ряды.

Напр., если правые части уравнений (а) в окрестности точки (to,x01, х02, . . ., Х0n) голоморфны, то решение соответствующей начальной задачи выражается функциями Xi(t), разлагающимися в степенные ряды:

 

коэффициенты к-рых можно найти последовательным дифференцированием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов при одинаковых степенях в левы! и правых частях этих уравнений.

Из специальных типов Д. у. особенно хорошо разрабо-тайа теория линейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см, Линейное дифференциальное уравнение).

Для линейных Д. у. сравнительно просто решаются также вопросы “качественного” поведения интегральны! кривых, т. е. их поведение во всей области задания Д. у., где нахождение общего решения особенно сложно, вопрос” качественной теор ии Д. у. приобретают иногда даже дом-нирующее значение. В связи с этой теорией см. Динамичг-екая система. Устойчивость, Предельный цикл.

Большое значение имеет аналитич. теория Д. у., изучающая решения Д. у. с точки зрения теории аналитич. функций, т. е. интересующаяся, напр., расположением их особых точек в комплексной плоскости и т. д.

Наряду с рассмотренной выше задачей — Коши задачей, в которой задаются значения искомых функцш (а в случае уравнений старших порядков и их производных! в одной точке (при одном значении независимого переменного), находят широкое применение краевые задачи -задачи о нахождении решения Д. у., принадлежащего заданному множеству D пространства дифференцируемых функций от х на (а, b). Напр., для Д. у. 1-го порядка D может состоять из функций у (х) таких, что для нек-рой функции Ф(x); для Д. у. 2-го порядка у"+ +q(х)у=0 множество D состоит из функций, принимающих заданные зн ачения на концах интервала: у (а)=A, y(b)=В.

В связи с потребностями практики постоянно разрабатывались и способы приближённого интегрирования Д. у., напр., последовательных приближений метод, Адамса метод и др. Были предложены также разнообразит приёмы графич. и механ ич. интегрирования этих уравнений. Математика располагает богатым набором численных методов решения многих задач Д. у. (см. Дифференциальное уравнение обыкновенное, приближённые методы решения). Эти методы представляют coбой удобные алгоритмы выч ислений с эффективными оценками точности, а современная вычислительная техника дает возможность экономно и быстро довести решение каждой такой задачи до .числового результата.

 

Дифференциальные уравнения с частными производными. Типичной особенностью Д. у. с частными произ-водными и систем Д. у. с частными производными является то, что для однозначного определения частного решения здесь требуетс я задание не значений того или иного конеч-ного числа параметров, а нек-рых функций. Напр., общим решением уравнения

 

является выражение

 

где f и g — произвольные функции. Таким образом, Д.у, (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функ-цни двух пе ременных и(х, у), что её удаётся выразить через две функции f(z) и g(z) одного переменного, к-рые оста-ются [если в дополнение к уравнению (16) не дано к.-л. “начальных” или “краевых” условий] произвольным

Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка

 

где независимыми переменными являются t, х1, . . ., хn, а u1, . . ., um суть функции этих независимых переменных, может служить з адача Коши: по заданным при к.-л. значениях t=t0

 

найти функции ui(t, x1 . . ., хn).

В теории Д. у. с частными производными порядка выше 1-го и систем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными производными порядка выше 1-го существенное значение имеет тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию Д. у. с частными производными 2-го порядка с одной не известной функцией z (x, у) двух переменных:

 

где

 

Если

 

то (18) есть эллиптическое уравнение Примером может служить Лапласа уравнение

 

Если D <0, то (18) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны (см. Волновое у равнение):

 

Если 0=0, то (18) есть параболическое ypai пение. Примером может служить уравнение pacnpi странения тепла (см. Теплопроводности уравнение):

 

О краевых задачах для этих различных типов уравнений си. Математической физики уравнения. Для построения приближённых решений Д. у. с частными производными чаще всего применяются методы конечных разностей (раз-ностных схем теория). См. также Гиперболического типа уравнение, Параболического типа уравнение, Эллиптиче-ского типа уравнение.

 

Сайт создан в системе uCoz